Determine a distância da reta r: X=(0,3,1)+t(1,2,2), t in R ao plano pi : 4 x-4 y+2 z-7=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
r: X=(0,3,1)+t,(1,2,2), tinR
e o plano
pi:4x-4y+2z-7=0.
O conteúdo aqui é reta paralela a plano e cálculo de distância ponto–plano. Para responder, vamos (i) verificar se a reta é paralela ao plano comparando o vetor diretor com a normal do plano, e em caso afirmativo (ii) usar a fórmula da distância de um ponto da reta ao plano.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
v=(1,2,2)
e a normal do plano é
n=(4,-4,2).
Calculamos o produto escalar
ncdotv =4cdot1+(-4)cdot2+2cdot2 =4-8+4 =0
Como ncdotv=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Para planos e retas paralelas, a distância entre eles é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Tomando o ponto inicial da reta ,P0=(0,3,1), aplicamos a fórmula
d =l|4cdot0-4cdot3+2cdot1-7r|raiz4^2+(-4)^2+2^2 =l|-12+2-7r|raiz16+16+4 =17raiz36 =176

Resposta

A distância entre a reta e o plano é 176.

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