Determine o ângulo entre as retas
r1:cx=-t-2 y=t z=-2 t+3 e r2: x2=y+61=z-11( Resposta: (r1, r2)=60^circ)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre as retas
e
.
O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar o conceito de ângulo entre vetores diretores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta.
Para r1, comparando com l(x,y,zr)=(-2,0,3)+t(-1,1,-2), vemos
v1=(-1,,1,,-2)
Para r2, usando o parâmetro s tal que x=2s, y=s-6, z=s+1, o vetor diretor é
v2=(2,,1,,1)

Passo 3

Calculamos o produto interno
v1cdotv2 =(-1)cdot2+1cdot1+(-2)cdot1=-2+1-2=-3

Passo 4

Calculamos as normas
|v1| =raiz(-1)^2+1^2+(-2)^2 =raiz1+1+4 =raiz6,
|v2| =raiz2^2+1^2+1^2 =raiz4+1+1 =raiz6

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre vetores
costheta =v1cdotv2 |v1||v2| =-3raiz6,raiz6 =-36 =-tfrac12

Passo 6

Como o cosseno é -tfrac12, o ângulo com valor principal é
theta=arccosl(-tfrac12r)=120^circ
Mas o ângulo entre retas é o menor ângulo formado, dado por
180^circ-120^circ=60^circ

Resposta

60^circ

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