Esboçar o gráfico da cônica representada por
G(x, y)=x^2+4 y^2+4 x y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da cônica representada por G(x, y) = x^2 + 4y^2 + 4xy - 1 = 0 . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações de cônicas e, provavelmente, uma mudança de coordenadas para simplificar a equação. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral de uma cônica é dada por:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, temos:
  • A = 1
  • B = 4
  • C = 4
  • D = 0
  • E = 0
  • F = -1
Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante De<a = B^2 - 4AC .
Calculando:
De<a = 4^2 - 4 times 1 times 4 = 16 - 16 = 0
Quando De<a = 0 , a cônica é uma parábola. Mas tem um detalhe: como temos o termo xy , precisamos fazer uma rotação de eixos para eliminar esse termo e facilitar o esboço.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma rotação dos eixos para eliminar o termo xy . A rotação que elimina o termo cruzado é dada pelo ângulo theta que satisfaz:
cot(2theta) = A - CB
Substituindo os valores:
cot(2theta) = 1 - 44 = -34
Então,
tan(2theta) = -43
Resolvendo para theta :
2theta = tan^-1(-43)
theta = 12 tan^-1(-43)
Vamos usar esse theta para rotacionar os eixos.

Passo 4

Com o ângulo [\theta), fazemos a substituição das coordenadas:
Substituindo na equação original e sem o termo . Após simplificar, a equação ficará na forma padrão de uma parábola:
çã

Passo 5

Com a equação simplificada, identificamos os parâmetros da parábola, como o vértice, a direção e o foco. Isso facilita o esboço do gráfico. Lembrando que, após rotacionar de volta para os eixos originais, o gráfico será uma parábola inclinada.

Resposta

O gráfico da cônica G(x, y) = x^2 + 4y^2 + 4xy - 1 = 0 é uma parábola inclinada, que pode ser esboçada após uma rotação dos eixos para eliminar o termo cruzado xy .

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