Esboçar o gráfico da cônica representada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da cônica representada por
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações de cônicas e, provavelmente, uma mudança de coordenadas para simplificar a equação. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral de uma cônica é dada por:
No nosso caso, temos:
Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante
.
Calculando:
Quando
, a cônica é uma parábola. Mas tem um detalhe: como temos o termo
, precisamos fazer uma rotação de eixos para eliminar esse termo e facilitar o esboço.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma rotação dos eixos para eliminar o termo
. A rotação que elimina o termo cruzado é dada pelo ângulo
que satisfaz:
Substituindo os valores:
Então,
Resolvendo para
:
Vamos usar esse
para rotacionar os eixos.
Passo 4
Com o ângulo [\theta), fazemos a substituição das coordenadas:
Substituindo na equação original e
sem o termo
. Após simplificar, a equação ficará na forma padrão de uma parábola:
Passo 5
Com a equação simplificada, identificamos os parâmetros da parábola, como o vértice, a direção e o foco. Isso facilita o esboço do gráfico. Lembrando que, após rotacionar de volta para os eixos originais, o gráfico será uma parábola inclinada.
Resposta
O gráfico da cônica
é uma parábola inclinada, que pode ser esboçada após uma rotação dos eixos para eliminar o termo cruzado
.