Esboçar o gráfico da cônica representada por
G(x, y)=16 x^2-24 x y+9 y^2-38 x-34 y+71=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
G(x,y)=16x^2-24xy+9y^2-38x-34y+71=0
Queremos classificá-la e esboçar o gráfico. O conteúdo usado será: discriminante de cônicas, rotação de eixos e forma canônica.

Passo 2

Para classificar identificamos
A=16, B=-24, C=9,
e calculamos o discriminante
De<a = B^2 -4AC = (-24)^2 -4cdot16cdot9 =576-576=0,
logo é uma parábola. A parte quadrática fatoriza-se como
16x^2-24xy+9y^2 = (4x-3y)^2
Definimos as variáveis rotacionadas
u = 4x-3y, v = 3x+4y,
cujas inversas são
x = 3v+4u25, y = 4v-3u25

Passo 3

Substituindo em G=0 e simplificando obtemos
u^2 -2u -10v +71 =0 Long<=ftrightarrow (u-1)^2 =10(v-7)
Esta é a forma canônica de uma parábola em (u,v) com vértice em (1,7), eixo paralelo a v, abertura para v maior e parâmetro p=tfrac52.

Passo 4

Voltando a (x,y):
– O vértice (u,v)=(1,7) corresponde a
xV = 3cdot7+4cdot125=1, yV = 4cdot7-3cdot125=1
– O eixo de simetria tem direção do aumento de v, dado pelo vetor lang<=3,4rang<=, ou seja a reta
y-1 = 43(x-1)
– O foco em (u,v)=(1,7+tfrac52)=(1,tfrac192) vai para
l(tfrac1310,,tfrac75r)
– A diretriz v=7-tfrac52=tfrac92 corresponde a
3x+4y = 92

Resposta

Parábola com vértice em (1,1), eixo de simetria na reta
y-1 = tfrac43(x-1),
foco em l(tfrac1310,tfrac75r), diretriz
3x+4y-tfrac92=0,
e abertura na direção do vetor lang<=3,4rang<=.

Exercícios relacionados