Determine o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo misto x y da equação da cônica 16 x^{2}+\sqrt{3} x y+ 15 y^{2}-2 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
16x^{2} + \sqrt{3}\,xy + 15y^{2} - 2y = 0
e pede o ângulo de rotação que elimina o termo misto xy. O conteúdo aqui é rotação de eixos em cônicas, e vamos usar a fórmula
\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C}
onde, na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0,
A, B e C são os coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 2

Na equação geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0, o coeficiente que multiplica xy é B. Para eliminar esse termo misto após rotação de eixos, devemos satisfazer
\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C}.

Passo 3

Identificamos os coeficientes na nossa cônica:
A = 16,
B = \sqrt{3},
C = 15.

Passo 4

Calculamos
\tan(2\theta) = \frac{\sqrt{3}}{16 - 15} = \sqrt{3}.
Logo
2\theta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + k\pi,
e tomando a solução principal k=0, temos
\theta = \frac{\pi}{6}.

Resposta

O ângulo de rotação necessário é \theta = \tfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ).

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