Faça com os eixos coordenados uma rotação correspondente ao ângulo \theta=\operatorname{arctang}\left(\frac{4}{3}\right) e simplifique a equação 9 x^{2}+24 x y+16 y^{2}+80 x-60 y=0. Identifique a cônica encontrada.

Passo 1

O enunciado pede para girar os eixos coordenados de forma que o termo misto xy desapareça na cônica
9x^{2}+24xy+16y^{2}+80x-60y=0
usando o ângulo de rotação \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr), e então simplificar a equação e identificar a cônica obtida. Vamos usar a fórmula de rotação
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta, \quad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.

Passo 2

Como \tan\theta=\tfrac{4}{3}, temos o triângulo retângulo cujos catetos são 4 e 3, logo
\cos\theta = \frac{3}{5}, \quad \sin\theta = \frac{4}{5}.

Passo 3

Os coeficientes quadráticos na nova base vêm de
A' = A\cos^{2}\theta + B\cos\theta\sin\theta + C\sin^{2}\theta,
C' = A\sin^{2}\theta - B\cos\theta\sin\theta + C\cos^{2}\theta,
B' = 0\quad(\text{por escolha de }\theta).
Substituindo A=9, B=24, C=16:
A' = 9\frac{9}{25} + 24\frac{12}{25} + 16\frac{16}{25} = \frac{81+288+256}{25} = \frac{625}{25} = 25,
C' = 9\frac{16}{25} -24\frac{12}{25} +16\frac{9}{25} = \frac{144-288+144}{25} = 0.

Passo 4

Os termos lineares transformam-se em
D' = D\cos\theta + E\sin\theta, \quad E' = -D\sin\theta + E\cos\theta,
com D=80, E=-60:
D' = 80\frac{3}{5} + (-60)\frac{4}{5} = \frac{240 -240}{5} = 0,
E' = -80\frac{4}{5} + (-60)\frac{3}{5} = \frac{-320 -180}{5} = -100.

Passo 5

A equação na base (x',y') fica então
25\,x'^{2} -100\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{1}{4}\,x'^{2}.
Esse é o formato de uma parábola com eixo paralelo a y'.

Resposta

A equação simplificada é
y' = \tfrac{1}{4}\,x'^{2},
que representa uma parábola.

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