Mediante uma rotação dos eixos coordenados, simplifique a equação 9 x^{2}+24 x y+16 y^{2}+90 x-130 y=0. A seguir identifique a cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^{2} + 24xy + 16y^{2} + 90x - 130y = 0
e pede para simplificar por rotação de eixos (eliminar o termo misto xy) e depois identificar a cônica. Vamos usar a fórmula
\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C}
em que A=9, B=24, C=16, além das transformações
x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\quad y = X\sin\theta + Y\cos\theta.

Passo 2

Calculamos
\tan(2\theta)=\frac{24}{9-16}=\frac{24}{-7}=-\frac{24}{7}.
Para usar nas fórmulas de rotação, achamos também
\cos(2\theta)=\frac{A-C}{\sqrt{B^{2}+(A-C)^{2}}} =\frac{-7}{\sqrt{24^{2}+(-7)^{2}}}=\frac{-7}{25},\quad \sin(2\theta)=\frac{24}{25}.

Passo 3

Usamos as fórmulas de semissoma para obter \cos\theta e \sin\theta:
\cos\theta = \sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \tfrac{7}{25}}{2}} = \frac{3}{5}, \quad \sin\theta = \sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}} = \frac{4}{5}.

Passo 4

Em X,Y a parte quadrática passa a ter coeficientes
A' = A\cos^{2}\theta + B\cos\theta\sin\theta + C\sin^{2}\theta = 25, \quad C' = A\sin^{2}\theta - B\cos\theta\sin\theta + C\cos^{2}\theta = 0,
ou seja, o termo em Y^{2} some.

Passo 5

Os termos lineares transformam-se em
D' = D\cos\theta + E\sin\theta = 90\cdot\frac{3}{5} + (-130)\cdot\frac{4}{5} = -50,
E' = -D\sin\theta + E\cos\theta = -90\cdot\frac{4}{5} + (-130)\cdot\frac{3}{5} = -150.
Logo a equação em eixos rotacionados é
25\,X^{2} - 50\,X - 150\,Y = 0.
Dividindo por 25 fica
X^{2} - 2\,X - 6\,Y = 0.

Passo 6

Completando o quadrado em X:
X^{2} - 2X = (X-1)^{2} - 1,
então
(X-1)^{2} - 1 - 6Y = 0 \quad\Longrightarrow\quad (X-1)^{2} = 6Y + 1 \quad\Longrightarrow\quad Y = \frac{(X-1)^{2}}{6} - \frac{1}{6}.
Essa equação representa uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo Y.

Resposta

Em eixos rotacionados com
x = \tfrac{3}{5}X - \tfrac{4}{5}Y, \quad y = \tfrac{4}{5}X + \tfrac{3}{5}Y,
a cônica fica
X^{2} - 2X - 6Y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad Y = \frac{(X-1)^{2}}{6} - \frac{1}{6},
logo trata-se de uma parábola.

Exercícios relacionados