Determine o ângulo \theta entre os vetores:
\vec{a}=\vec{i}+2 \vec{j}+3 \vec{k} e \vec{b}=3 \vec{j}-2 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo \theta entre os vetores dados. Informações fornecidas:
\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}
\vec{b}=3\vec{j}-2\vec{k}
Pergunta clara: qual é o valor de \theta entre \vec{a} e \vec{b}?

Passo 2

Método que vamos usar (fórmula padrão para ângulo entre vetores):
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}
Explicação da fórmula:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (ou dot product) entre os vetores \vec{a} e \vec{b}.
  • \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\| são os comprimentos (normas) dos vetores \vec{a} e \vec{b}.
  • Depois de calcular \cos\theta, obtemos \theta pela função arco-cosseno. O ângulo entre vetores é tomado no intervalo [0,\pi].

Passo 3

Pegando os componentes dos vetores do enunciado:
\vec{a}=(1,\,2,\,3)
\vec{b}=(0,\,3,\,-2)
(obs.: extraí essas componentes diretamente das expressões em \vec{i},\vec{j},\vec{k} fornecidas no enunciado)

Passo 4

Calculando o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}. Para vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando aos nossos valores:
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 0 + 2\cdot 3 + 3\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
1\cdot 0 = 0,
2\cdot 3 = 6,
3\cdot(-2) = -6.
Somando:
\vec{a}\cdot\vec{b}=0+6-6=0.

Passo 5

Calculando as normas \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\|. Definição da norma para (x,y,z):
\|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Então
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},
\|\vec{b}\|=\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{0+9+4}=\sqrt{13}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}=\frac{0}{\sqrt{14}\,\sqrt{13}}=0.
Interpretação: \cos\theta=0. Saber que \cos\theta=0 significa que \theta é \tfrac{\pi}{2} radians (ou 90^\circ) dentro do intervalo [0,\pi] usado para o ângulo entre vetores. Portanto os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar a ideia: vetores (1,0,0) e (0,1,0) têm produto escalar 0, então \cos\theta=0 e o ângulo entre eles é 90^\circ. É exatamente a mesma situação quando o produto escalar dá zero — vetores perpendiculares.

Resposta

\theta=90^\circ
\theta=\dfrac{\pi}{2}

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