Sejam
e
vetores. Demonstre que:
|
| \leq|\vec{v}|||\vec{w}|
|
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade entre o produto escalar e as normas de dois vetores: mostrar que
é menor ou igual a
. As informações dadas são apenas que
e
são vetores (podemos entendê-los como vetores em
com o produto escalar usual). Nenhuma outra informação numérica foi fornecida.
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
- Produto escalar: para vetores
e definimos . Isso é um número real. - Norma associada ao produto escalar:
. A norma mede o “tamanho” do vetor e é sempre não negativa. - Propriedade útil: para qualquer vetor
, . Em particular, e só se .
Passo 3
Escolha do método (e por que): um truque clássico e eficiente é considerar a quantidade
como função do escalar real
. A razão é que
é sempre
(é norma ao quadrado), e ao expandi-la obtemos um polinômio quadrático em
. A condição de que esse polinômio seja não negativo para todo
dá uma desigualdade que leva exatamente ao que queremos demonstrar. Esse método é simples, generalizável e funciona sem cálculo complicado.
Passo 4
Construção da função quadrática e expansão:
Defina a função real
Defina a função real
Pelo que vimos,
para todo
. Vamos expandir
usando bilinearidade do produto escalar:
Portanto
é o polinômio quadrático em
Passo 5
Condição sobre o discriminante do quadrático:
Um polinômio quadrático com
é não negativo para todo
se, e somente se, seu discriminante
for
. No nosso caso temos
Um polinômio quadrático
e
(se
a prova fica trivial, veremos isso à parte). Calcule o discriminante:
Como
para todo
, devemos ter
. Dividindo por
obtemos a desigualdade
Passo 6
Como transformar a desigualdade anterior na forma com valor absoluto:
Da desigualdade obtida no passo anterior temos que o quadrado do produto escalar é menor ou igual ao produto dos quadrados das normas. Como os dois lados são não negativos, podemos tirar a raiz quadrada não negativa dos dois lados, obtendo a desigualdade desejada que relaciona o valor absoluto do produto escalar com o produto das normas. (A forma explícita final está na seção de resposta.)
Da desigualdade obtida no passo anterior temos que o quadrado do produto escalar é menor ou igual ao produto dos quadrados das normas. Como os dois lados são não negativos, podemos tirar a raiz quadrada não negativa dos dois lados, obtendo a desigualdade desejada que relaciona o valor absoluto do produto escalar com o produto das normas. (A forma explícita final está na seção de resposta.)
Passo 7
Caso degenerado e condição de igualdade:
- Se
então e , portanto a desigualdade fica , trivialmente verdadeira. - Quando ocorre igualdade estrita entre os quadrados, isto é, quando
, isso significa que o discriminante é zero. Nesse caso o polinômio tem uma raiz dupla , e então implica , ou seja . Assim a igualdade acontece exatamente quando e são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro).
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
Tome e
em
. Calculamos
Tome
Então o produto das normas é
, que é maior que
, confirmando a desigualdade neste exemplo.