Sejam \vec{v} e \vec{w} vetores. Demonstre que:
| \vec{v} \cdot \vec{w}| \leq|\vec{v}|||\vec{w}|

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade entre o produto escalar e as normas de dois vetores: mostrar que |\vec{v}\cdot\vec{w}| é menor ou igual a \|\vec{v}\|\|\vec{w}\|. As informações dadas são apenas que \vec{v} e \vec{w} são vetores (podemos entendê-los como vetores em \mathbb{R}^n com o produto escalar usual). Nenhuma outra informação numérica foi fornecida.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Produto escalar: para vetores \vec{v}=(v_1,\dots,v_n) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_n) definimos \vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}v_iw_i. Isso é um número real.
  • Norma associada ao produto escalar: \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}. A norma mede o “tamanho” do vetor e é sempre não negativa.
  • Propriedade útil: para qualquer vetor \vec{u}, \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}. Em particular, \|\vec{u}\|^2\ge 0 e \|\vec{u}\|^2=0 só se \vec{u}=\vec{0}.

Passo 3

Escolha do método (e por que): um truque clássico e eficiente é considerar a quantidade \|\vec{v}-t\vec{w}\|^2 como função do escalar real t. A razão é que \|\vec{v}-t\vec{w}\|^2 é sempre \ge 0 (é norma ao quadrado), e ao expandi-la obtemos um polinômio quadrático em t. A condição de que esse polinômio seja não negativo para todo t dá uma desigualdade que leva exatamente ao que queremos demonstrar. Esse método é simples, generalizável e funciona sem cálculo complicado.

Passo 4

Construção da função quadrática e expansão:
Defina a função real
f(t)=\|\vec{v}-t\vec{w}\|^2.
Pelo que vimos, f(t)\ge 0 para todo t\in\mathbb{R}. Vamos expandir f(t) usando bilinearidade do produto escalar:
\begin{aligned} f(t)&=(\vec{v}-t\vec{w})\cdot(\vec{v}-t\vec{w})\\\ &=\vec{v}\cdot\vec{v}-2t(\vec{v}\cdot\vec{w})+t^2(\vec{w}\cdot\vec{w})\\\ &=\|\vec{v}\|^2-2t(\vec{v}\cdot\vec{w})+t^2\|\vec{w}\|^2. \end{aligned}
Portanto f(t) é o polinômio quadrático em t
f(t)=\|\vec{w}\|^2 t^2-2(\vec{v}\cdot\vec{w})\,t+\|\vec{v}\|^2.

Passo 5

Condição sobre o discriminante do quadrático:
Um polinômio quadrático at^2+bt+c com a>0 é não negativo para todo t se, e somente se, seu discriminante D=b^2-4ac for \le 0. No nosso caso temos
a=\|\vec{w}\|^2,\quad b=-2(\vec{v}\cdot\vec{w}),\quad c=\|\vec{v}\|^2,
e a=\|\vec{w}\|^2\ge 0 (se \|\vec{w}\|=0 a prova fica trivial, veremos isso à parte). Calcule o discriminante:
\begin{aligned} D&=b^2-4ac\\\ &=\bigl(-2(\vec{v}\cdot\vec{w})\bigr)^2-4\|\vec{w}\|^2\|\vec{v}\|^2\\\ &=4(\vec{v}\cdot\vec{w})^2-4\|\vec{w}\|^2\|\vec{v}\|^2. \end{aligned}
Como f(t)\ge 0 para todo t, devemos ter D\le 0. Dividindo por 4>0 obtemos a desigualdade
(\vec{v}\cdot\vec{w})^2\le \|\vec{v}\|^2\|\vec{w}\|^2.

Passo 6

Como transformar a desigualdade anterior na forma com valor absoluto:
Da desigualdade obtida no passo anterior temos que o quadrado do produto escalar é menor ou igual ao produto dos quadrados das normas. Como os dois lados são não negativos, podemos tirar a raiz quadrada não negativa dos dois lados, obtendo a desigualdade desejada que relaciona o valor absoluto do produto escalar com o produto das normas. (A forma explícita final está na seção de resposta.)

Passo 7

Caso degenerado e condição de igualdade:
  • Se \|\vec{w}\|=0 então \vec{w}=\vec{0} e \vec{v}\cdot\vec{w}=0, portanto a desigualdade fica 0\le 0, trivialmente verdadeira.
  • Quando ocorre igualdade estrita entre os quadrados, isto é, quando (\vec{v}\cdot\vec{w})^2=\|\vec{v}\|^2\|\vec{w}\|^2, isso significa que o discriminante D é zero. Nesse caso o polinômio f(t) tem uma raiz dupla t_0=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{w}\|^2}, e então f(t_0)=0 implica \vec{v}-t_0\vec{w}=\vec{0}, ou seja \vec{v}=t_0\vec{w}. Assim a igualdade acontece exatamente quando \vec{v} e \vec{w} são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
Tome \vec{v}=(1,2) e \vec{w}=(3,4) em \mathbb{R}^2. Calculamos
\vec{v}\cdot\vec{w}=1\cdot3+2\cdot4=3+8=11,
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\qquad \|\vec{w}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.
Então o produto das normas é \sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}\approx 11,18, que é maior que |11|=11, confirmando a desigualdade neste exemplo.

Resposta

|\vec{v}\cdot\vec{w}|\le\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|

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