Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
e
(em qualquer
) e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes que temos explicitamente: temos os vetores
e
e o produto interno (produto escalar)
. A tarefa é provar que o produto escalar do somatório pela diferença resulta na diferença dos quadrados das normas.
Passo 2
Vamos lembrar definições essenciais (passo-a-passo e com explicação):
- O produto escalar entre dois vetores
e é denotado por . É uma operação que produz um número real. - A norma de um vetor
é denotada por e a norma ao quadrado satisfaz
Isto significa que o quadrado do comprimento de
é exatamente o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 3
Agora as propriedades do produto escalar que vamos usar (explicadas):
- Distributividade em relação à soma: para quaisquer vetores
,
Isto significa que podemos “multiplicar” por soma termo a termo.
- Comutatividade: para quaisquer vetores
,
Isto permite trocar a ordem dos fatores no produto escalar.
Passo 4
Aplicamos a distributividade para expandir
. Primeiro aplicamos distributividade do primeiro fator sobre a soma do segundo fator:
Agora aplicamos distributividade dentro de cada termo:
Somando essas duas expressões obtemos
Passo 5
Observe os termos do meio
. Pela comutatividade do produto escalar temos
. Portanto
Assim esses dois termos se cancelam, restando
Passo 6
Finalmente usamos a definição da norma ao quadrado,
. Aplicando isso aos vetores
e
obtemos
Substituindo na expressão do Passo 5 vem imediatamente
Passo 7
Para reforçar a intuição: se você preferir ver em coordenadas, escreva
e
. Então
o que confirma o mesmo resultado pelo cálculo componente a componente.