Mostre que (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} (em qualquer \mathbb{R}^n) e pede para mostrar a igualdade
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}.
Informações relevantes que temos explicitamente: temos os vetores \vec{a} e \vec{b} e o produto interno (produto escalar) \cdot. A tarefa é provar que o produto escalar do somatório pela diferença resulta na diferença dos quadrados das normas.

Passo 2

Vamos lembrar definições essenciais (passo-a-passo e com explicação):
  • O produto escalar entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é denotado por \vec{u}\cdot\vec{v}. É uma operação que produz um número real.
  • A norma de um vetor \vec{u} é denotada por \|\vec{u}\| e a norma ao quadrado satisfaz
\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}.
Isto significa que o quadrado do comprimento de \vec{u} é exatamente o produto escalar de \vec{u} consigo mesmo.

Passo 3

Agora as propriedades do produto escalar que vamos usar (explicadas):
  • Distributividade em relação à soma: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w},
\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.
Isto significa que podemos “multiplicar” por soma termo a termo.
  • Comutatividade: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},
\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
Isto permite trocar a ordem dos fatores no produto escalar.

Passo 4

Aplicamos a distributividade para expandir (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}). Primeiro aplicamos distributividade do primeiro fator sobre a soma do segundo fator:
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b}).
Agora aplicamos distributividade dentro de cada termo:
\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b},
\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}.
Somando essas duas expressões obtemos
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}.

Passo 5

Observe os termos do meio -\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}. Pela comutatividade do produto escalar temos \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}. Portanto
-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}=-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0.
Assim esses dois termos se cancelam, restando
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}.

Passo 6

Finalmente usamos a definição da norma ao quadrado, \|\vec{u}\|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}. Aplicando isso aos vetores \vec{a} e \vec{b} obtemos
\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^{2}, \qquad \vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^{2}.
Substituindo na expressão do Passo 5 vem imediatamente
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}.

Passo 7

Para reforçar a intuição: se você preferir ver em coordenadas, escreva \vec{a}=(a_{1},\dots,a_{n}) e \vec{b}=(b_{1},\dots,b_{n}). Então
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) =\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})(a_{i}-b_{i}) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(a_{i}^{2}-b_{i}^{2}\bigr) =\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2} =\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2},
o que confirma o mesmo resultado pelo cálculo componente a componente.

Resposta

(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}

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