2 Sejam u, v in V, um espaço vetorial real com produto interno. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz para u neq 0, conforme as instruções abaixo:
a) Seja t um escalar real. Então, lang<= t u+v, t u+vrang<= >= 0 para todo t in R. Expanda esta inequação para obter uma inequação quadrática da forma
a t^2+b t+c >= 0
Quem são a, b e c ?
b) Use propriedades de equações quadráticas e seus gráficos para obter uma condição sobre a, b e c para qual a inequação do item a) seja verdadeira.
c) Mostre que, em função de u e v, a condição obtida no item b) é equivalente à desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em um espaço vetorial real com produto interno, usando a positividade de lang<= t u+v, t u+vrang<= para todo t. Vamos expandir esse produto interno e ligar ao estudo de quadráticas.

Passo 2

Aplicando a bilinearidade e simetria do produto interno, obtemos:
lang<= t u+v, t u+vrang<= = t^2lang<= u,urang<= + 2tlang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=
Comparando com a t^2 + b t + c, concluímos que
a = lang<= u,urang<=, b = 2lang<= u,vrang<=, c = lang<= v,vrang<=

Passo 3

Uma função quadrática a t^2 + b t + c é não-negativa para todo tinR se, e somente se, seu discriminante for não-positivo. Ou seja,
b^2 - 4ac <= 0

Passo 4

Substituindo a, b e c na condição b^2 - 4ac <= 0, temos:
(2lang<= u,vrang<=)^2 - 4,lang<= u,urang<=,lang<= v,vrang<= <= 0
Isto é
4,lang<= u,vrang<=^2 <= 4,|u|^2,|v|^2
dividindo por 4 e tomando raiz, obtemos
|lang<= u,vrang<=| <= |u|,|v|,
que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 5

Concluímos, portanto, que a condição de positividade do produto interno leva diretamente à desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Resposta

|lang<= u,vrang<=| <= |u|,|v|

Exercícios relacionados