2 Sejam
, um espaço vetorial real com produto interno. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz para
, conforme as instruções abaixo:
a) Seja
um escalar real. Então,
para todo
. Expanda esta inequação para obter uma inequação quadrática da forma
Quem são
e
?
b) Use propriedades de equações quadráticas e seus gráficos para obter uma condição sobre
e
para qual a inequação do item a) seja verdadeira.
c) Mostre que, em função de
e
, a condição obtida no item b) é equivalente à desigualdade de Cauchy-Schwarz.
a) Seja
b) Use propriedades de equações quadráticas e seus gráficos para obter uma condição sobre
c) Mostre que, em função de
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em um espaço vetorial real com produto interno, usando a positividade de
para todo
. Vamos expandir esse produto interno e ligar ao estudo de quadráticas.
Passo 2
Aplicando a bilinearidade e simetria do produto interno, obtemos:
Comparando com
, concluímos que
Passo 3
Uma função quadrática
é não-negativa para todo
se, e somente se, seu discriminante for não-positivo. Ou seja,
Passo 4
Substituindo
,
e
na condição
, temos:
Isto é
dividindo por 4 e tomando raiz, obtemos
que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 5
Concluímos, portanto, que a condição de positividade do produto interno leva diretamente à desigualdade de Cauchy-Schwarz.