Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de
expressas na base canônica, onde
é a dimensão da matriz quadrada,
.
Passo 1
Vamos considerar uma matriz diagonal 2×2 na base canônica e aplicar a definição de autovalor/autovetor, que exige resolver
para encontrar os autovalores e depois resolver
para obter os autovetores.
Passo 2
A matriz dada é
O polinômio característico vem de
Passo 3
As raízes do polinômio característico são
Passo 4
Para
, resolvemos
Isso impõe
e
. Se
, então
e
é livre, gerando o autovetor padrão
.
Passo 5
Para
, resolvemos
Aqui
e
. Se
, então
e
é livre, gerando o autovetor padrão
.
Passo 6
Se
, a matriz é escalar e qualquer vetor não nulo é autovetor, pois $A=\alpha I.
Resposta
Os autovalores são
e
. Para o caso
, os autovetores associados são
Se
, então todo vetor não nulo em
é autovetor.