Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
llalpha & 0 0 & beta

Passo 1

Vamos considerar uma matriz diagonal 2×2 na base canônica e aplicar a definição de autovalor/autovetor, que exige resolver det(A - lambda I)=0 para encontrar os autovalores e depois resolver (A - lambda I)x=0 para obter os autovetores.

Passo 2

A matriz dada é
A=alpha & 0[6pt]0 & beta
O polinômio característico vem de
det(A - lambda I)=detalpha-lambda & 0[4pt]0 & beta-lambda=(alpha-lambda)(beta-lambda)

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
lambda1=alpha, lambda2=beta

Passo 4

Para lambda1=alpha, resolvemos
(A-alpha I)x=0 & 0[4pt]0 & beta-alphax1[2pt]x2=0
Isso impõe 0cdot x1+0cdot x2=0 e (beta-alpha)x2=0. Se betaneqalpha, então x2=0 e x1 é livre, gerando o autovetor padrão v1=(1,0).

Passo 5

Para lambda2=beta, resolvemos
(A-beta I)x=alpha-beta & 0[4pt]0 & 0x1[2pt]x2=0
Aqui (alpha-beta)x1=0 e 0cdot x2=0. Se alphaneqbeta, então x1=0 e x2 é livre, gerando o autovetor padrão v2=(0,1).

Passo 6

Se alpha=beta, a matriz é escalar e qualquer vetor não nulo é autovetor, pois $A=\alpha I.

Resposta

Os autovalores são lambda1=alpha e lambda2=beta. Para o caso alphaneqbeta, os autovetores associados são
v1=(1,0) para lambda1=alpha e v2=(0,1) para lambda2=beta.
Se alpha=beta, então todo vetor não nulo em R^2 é autovetor.

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