Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(2,1,3) e v=(6,3,9)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre u=(2,1,3) e v=(6,3,9) e também calcular a projeção de u na direção de v. Para isso, vamos usar os conceitos de produto escalar, norma de vetor, a relação costheta = ucdot v|u||v| para o ângulo e a fórmula projv(u) = ucdot v|v|^2,v para a projeção.

Passo 2

Calculamos o produto escalar de u e v:
ucdot v = 2cdot6 + 1cdot3 + 3cdot9 = 42 Isso mede a “similaridade” direcional dos vetores.

Passo 3

Calculamos as normas de u e v:
|u| = raiz2^2 + 1^2 + 3^2 = raiz14,
|v| = raiz6^2 + 3^2 + 9^2 = raiz126 = 3raiz14

Passo 4

Aplicamos a fórmula do ângulo:
costheta = ucdot v|u||v| = 42raiz14cdot3raiz14 = 1
Daí theta = arccos(1) = 0^circ. Os vetores são colineares e apontam na mesma direção.

Passo 5

Agora a projeção de u sobre v é dada por
projv(u) = ucdot v|v|^2,v = 42126,v = tfrac13(6,3,9) = (2,1,3) Isso mostra que u já está totalmente alinhado com v.

Resposta

O ângulo entre u e v é 0^circ e a projeção de u na direção de v é o vetor (2,1,3).

Exercícios relacionados