Seja
W=[cc2 a & a+2 b 0 & a-b] in M(2,2) rvert, a, b in R
W é subespaço vetorial de M(2,2) ?

Passo 1

O enunciado define o conjunto Wsubset M(2,2) dado por
W=2a & a+2b[6pt]0 & a-bmid a,binR
Pergunta: verificar se W é subespaço vetorial de M(2,2). Para isso, vamos checar as três condições: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Para ver se a matriz zero pertence a W, basta escolher a=0 e b=0. Isso gera
M(0,0)=2cdot0 & 0+2cdot0[6pt]0 & 0-0=0 & 0[6pt]0 & 0,
logo a matriz zero está em W.

Passo 3

Considere duas matrizes arbitrárias em W:
M(a1,b1)=2a1 & a1+2b1[6pt]0 & a1-b1, M(a2,b2)=2a2 & a2+2b2[6pt]0 & a2-b2
Sua soma é
M(a1,b1)+M(a2,b2)=2(a1+a2) & (a1+a2)+2(b1+b2)[6pt]0 & (a1+a2)-(b1+b2),
e isso é exatamente
M(a1+a2,,b1+b2)in W,
pois a1+a2 e b1+b2 continuam reais. Logo, W é fechado sob adição.

Passo 4

Para fechamento sob multiplicação escalar, pegue cinR e
c,M(a,b)=c2a & a+2b[6pt]0 & a-b=2(ca) & (ca)+2(cb)[6pt]0 & (ca)-(cb),
que é
M(ca,,cb)in W,
pois ca,cbinR. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de M(2,2).

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de M(2,2).

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