Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(2,4,3) e v=(1,1,1)

Passo 1

Estamos dados os vetores u=(2,4,3) e v=(1,1,1). Precisamos encontrar o ângulo entre eles e a projeção de u na direção de v. Para isso vamos usar os conceitos de produto escalar, norma de vetores e projeção vetorial.

Passo 2

O produto escalar entre dois vetores u e v é dado por ucdot v= uxvx+uyvy+uzvz. Aplicando aos nossos vetores:
ucdot v = 2cdot1 + 4cdot1 + 3cdot1 = 9

Passo 3

A norma de um vetor u é |u|=raizux^2+uy^2+uz^2. Então calculamos:
|u|=raiz2^2+4^2+3^2=raiz4+16+9=raiz29,
|v|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3

Passo 4

O ângulo theta entre u e v satisfaz costheta=ucdot v|u|,|v|. Logo:
Então
costheta=9raiz29,raiz3=9raiz87

Passo 5

A projeção de u sobre v é definida por projv u=ucdot v|v|^2,v Como |v|^2=3 e ucdot v=9, temos o fator 9/3=3. Assim:
projv u =3,(1,1,1)=(3,3,3)

Resposta

Ângulo entre os vetores: theta=arccosl(9/raiz87r)approx15^circ Projeção de u na direção de v: (3,3,3).

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