Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
cccalpha & 0 & 0 0 & beta & 0 0 & 0 & gamma

Passo 1

O enunciado pede para encontrar autovalores e autovetores da matriz diagonal de dimensão 3 com entradas
alpha,beta,gamma na diagonal. O conteúdo envolve polinômio característico e a definição de autovetor como vetor não‐nulo satisfazendo Av=lambda v.

Passo 2

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)= det alpha-lambda & 0 & 0 0 & beta-lambda & 0 0 & 0 & gamma-lambda =(alpha-lambda)(beta-lambda)(gamma-lambda)

Passo 3

As raízes do polinômio são exatamente os autovalores. Logo
.

Passo 4

Para cada autovalor lambdai, resolvemos (A-lambdaiI)v=0. Como a matriz é diagonal, vemos que:
  • Para lambda=alpha, as equações exigem v2=0 e v3=0, mas v1 fica livre. Então os autovetores são múltiplos de (1,0,0).
  • Para lambda=beta, as equações exigem v1=0 e v3=0, ficando v2 livre. Logo autovetores são múltiplos de (0,1,0).
  • Para lambda=gamma, as equações exigem v1=0 e v2=0, ficando v3 livre. Logo autovetores são múltiplos de (0,0,1).

Resposta

Os autovalores são alpha,,beta,,gamma. Os autovetores correspondentes são, respectivamente, os múltiplos de:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

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