Determine o ângulo entre os vetores (4,-3,1) e (2,0,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{u}=(4,-3,1) e \mathbf{v}=(2,0,-1), e pede o ângulo \theta entre eles. O conteúdo necessário é o produto escalar e as normas, usando a fórmula
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar
\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} =4\cdot2 + (-3)\cdot0 + 1\cdot(-1) =8 - 1 =7.

Passo 3

Agora, as normas de \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26},
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{7}{\sqrt{26}\,\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{130}}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{7}{\sqrt{130}}\Bigr).

Passo 5

Para ter uma ideia em graus, aproximamos:
\frac{7}{\sqrt{130}}\approx0,6147 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx 52,1^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{7}{\sqrt{130}}\Bigr)\approx52{,}1^\circ

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