Sejam \vec{u} e \vec{v} dois vetores em \mathbb{R}^{3} que formam um ângulo de 120^{\circ} entre si, com \|\vec{u}\|=12 e \|\vec{v}\|=16. Calcule \|\vec{u} \times \vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^{3} com \|\vec{u}\|=12, \|\vec{v}\|=16 e o ângulo entre eles \theta=120^\circ. O conteúdo aqui é o produto vetorial em \mathbb{R}^{3} e vamos usar a fórmula da magnitude do produto vetorial.

Passo 2

A fórmula para a magnitude do produto vetorial é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| \;=\;\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\bigl|\sin(\theta)\bigr|.

Passo 3

Substituindo \|\vec{u}\|=12, \|\vec{v}\|=16 e \sin(120^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =12\cdot16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =192\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =96\sqrt{3}.

Resposta

\|\vec{u}\times\vec{v}\|=96\sqrt{3}

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