a) Seja
e
. Mostre que
e
são ortogonais.
b) Continue com os vetores
e
do item (a) e seja
um vetor em
cujas coordenadas você vai escolher. Calcule
. Note que dá
!
c) Mostre que, sempre que
e
forem ortogonais, temos
b) Continue com os vetores
c) Mostre que, sempre que
Passo 1
O enunciado trata de produto escalar e projeção ortogonal em
. No item (a) vamos usar o fato de que dois vetores são ortogonais se e somente se seu produto escalar é zero. No item (b) escolhemos um vetor genérico
e calculamos as projeções de
em
e em
, somando-as para verificar que recuperamos
. No item (c) fazemos a prova geral para quaisquer
e
ortogonais não nulos.
Passo 2
Para
e
o produto escalar é
Como
, concluímos que
e
são ortogonais.
Passo 3
Seja
. Primeiro calculamos
Em seguida,
Somando as duas projeções:
Logo
.
Passo 4
Sejam
ortogonais e não nulos. Como
, o conjunto
é linearmente independente e forma base de
. Assim, dado qualquer
, existem únicos escalares
tais que
Fazendo produto escalar com
e com
obtemos
que são exatamente os coeficientes das projeções
e
. Daí
Resposta
(a)
, logo são ortogonais.
(b) .
(c) Para quaisquer vetores ortogonais vale
(b)
(c) Para quaisquer vetores ortogonais