a) Seja \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(4,-2). Mostre que \vec{a} e \vec{b} são ortogonais.
b) Continue com os vetores \vec{a} e \vec{b} do item (a) e seja \vec{c} um vetor em \mathbb{R}^{2} cujas coordenadas você vai escolher. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}} \vec{c}. Note que dá \vec{c} !
c) Mostre que, sempre que \vec{a} e \vec{b} \in \mathbb{R}^{2} forem ortogonais, temos
\vec{c}=\operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}} \vec{c}

Passo 1

O enunciado trata de produto escalar e projeção ortogonal em \mathbb{R}^2. No item (a) vamos usar o fato de que dois vetores são ortogonais se e somente se seu produto escalar é zero. No item (b) escolhemos um vetor genérico \vec{c}=(x,y) e calculamos as projeções de \vec{c} em \vec{a} e em \vec{b}, somando-as para verificar que recuperamos \vec{c}. No item (c) fazemos a prova geral para quaisquer \vec{a} e \vec{b} ortogonais não nulos.

Passo 2

Para \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(4,-2) o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b} =1\cdot4 + 2\cdot(-2) =4 - 4 =0.
Como \vec{a}\cdot\vec{b}=0, concluímos que \vec{a} e \vec{b} são ortogonais.

Passo 3

Seja \vec{c}=(x,y). Primeiro calculamos
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c} =\frac{\vec{c}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a} =\frac{x+2y}{1^2+2^2}(1,2) =\frac{x+2y}{5}(1,2).
Em seguida,
\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c} =\frac{\vec{c}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\;\vec{b} =\frac{4x-2y}{4^2+(-2)^2}(4,-2) =\frac{4x-2y}{20}(4,-2) =\frac{2x-y}{10}(4,-2).
Somando as duas projeções:
\frac{x+2y}{5}(1,2) + \frac{2x-y}{10}(4,-2) = \Bigl(\frac{x+2y}{5}+\frac{4(2x-y)}{10},\, \frac{2(x+2y)}{5}-\frac{2(2x-y)}{10}\Bigr) =(x,y) =\vec{c}.
Logo \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c}=\vec{c}.

Passo 4

Sejam \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^2 ortogonais e não nulos. Como \vec{a}\cdot\vec{b}=0, o conjunto \{\vec{a},\vec{b}\} é linearmente independente e forma base de \mathbb{R}^2. Assim, dado qualquer \vec{c}, existem únicos escalares u,v tais que
\vec{c}=u\,\vec{a}+v\,\vec{b}.
Fazendo produto escalar com \vec{a} e com \vec{b} obtemos
u=\frac{\vec{c}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}, \quad v=\frac{\vec{c}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}},
que são exatamente os coeficientes das projeções \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c} e \operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c}. Daí
\vec{c} =\;u\,\vec{a}+v\,\vec{b} =\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c}.

Resposta

(a) \vec{a}\cdot\vec{b}=0, logo são ortogonais.
(b) \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c}=\vec{c}.
(c) Para quaisquer vetores ortogonais \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^2 vale
\vec{c}=\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{c}+\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{c}.

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