Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{ccc}1-i & 2 & 1+i \\\\ 0 & 1+3 i & 1+4 i \\\\ 4+i & 6+2 i & 2+i\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 - i & 2 & 1 + i \\[6pt] 0 & 1+3i & 1+4i \\[6pt] 4+i & 6+2i & 2+i \end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}.
Conteúdo: determinante de matriz 3\times3, cálculo de menores e cofatores e uso da adjunta para obter a inversa.]

Passo 2

Calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = (1-i)\det\!\begin{pmatrix}1+3i & 1+4i\\\ 6+2i & 2+i\end{pmatrix} -2\det\!\begin{pmatrix}0 & 1+4i\\\ 4+i & 2+i\end{pmatrix} +(1+i)\det\!\begin{pmatrix}0 & 1+3i\\\ 4+i & 6+2i\end{pmatrix}.
  1. \displaystyle M_{11}=\det\!\begin{pmatrix}1+3i & 1+4i\\\ 6+2i & 2+i\end{pmatrix} =(1+3i)(2+i)-(1+4i)(6+2i)=1-19i.
  2. \displaystyle M_{12}=\det\!\begin{pmatrix}0 & 1+4i\\\ 4+i & 2+i\end{pmatrix} = - (1+4i)(4+i)=-17i.
  3. \displaystyle M_{13}=\det\!\begin{pmatrix}0 & 1+3i\\\ 4+i & 6+2i\end{pmatrix} = - (1+3i)(4+i)=-1-13i.
    Logo,
\det(A) =(1-i)(1-19i)-2(-17i)+(1+i)(-1-13i) =-18-20i+34i+12-14i=-6.

Passo 3

Como \det(A)=-6\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Calculamos agora a matriz de cofatores C=(C_{ij}). Cada cofactor é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido removendo linha i e coluna j. Os resultados são:
C=\begin{pmatrix} 1-19i & 17i & -1-13i\\[3pt] 6i & -6i & 6i\\[3pt] 4+4i & -5-3i & 4+2i \end{pmatrix}.]

Passo 5

A inversa é dada por
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,C^{T} = -\tfrac16\,C^{T}.
Fazendo a transposta e multiplicando por -\tfrac16, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1-19i}{6} & -\tfrac{6i}{6} & -\tfrac{4+4i}{6}\\[6pt] -\tfrac{17i}{6} & -\tfrac{-6i}{6} & -\tfrac{-5-3i}{6}\\[6pt] -\tfrac{-1-13i}{6} & -\tfrac{6i}{6} & -\tfrac{4+2i}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6}+\tfrac{19}{6}i & -i & -\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}i\\[3pt] -\tfrac{17}{6}i & i & \tfrac{5}{6}+\tfrac{1}{2}i\\[3pt] \tfrac{1}{6}+\tfrac{13}{6}i & -i & -\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}i \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6}+\tfrac{19}{6}i & -i & -\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}i\\[3pt] -\tfrac{17}{6}i & i & \tfrac{5}{6}+\tfrac{1}{2}i\\[3pt] \tfrac{1}{6}+\tfrac{13}{6}i & -i & -\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}i \end{pmatrix}.]

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