Usando os cálculos do exercício anterior, resolva os sistemas:
(a) \left\{\begin{aligned}-x-2 y+2 z & =2 \\\\ 2 x+y-z & =0 \\\\ 4 x+8 y-5 z & =-3\end{aligned}\right..
(b) \left\{\begin{aligned}-x-2 y+2 z & =5 \\\\ 2 x+y-z & =-1 \\\\ 4 x+8 y-5 z & =-5\end{aligned}\right.
(c) \left\{\begin{aligned}-x-2 y+2 z & =0 \\\\ 2 x+y-z & =-10 \\\\ 4 x+8 y-5 z & =4\end{aligned}\right.
(d) \left\{\begin{aligned}-3 x-y+5 z & =1 \\\\ -2 x-7 y-z & =2 \\\\ 2 x-y-z & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a resolução de quatro sistemas lineares 3\times3 usando eliminação de Gauss e substituição regressiva. Vamos em cada caso eliminar x, depois resolver as equações triangulares em y e z e, por fim, obter x.

Passo 2

Para o sistema (a)
\begin{cases} -x-2y+2z=2,\\\\ 2x+y-z=0,\\\\ 4x+8y-5z=-3, \end{cases}
multiplicamos a 1ª equação por 2 e somamos à 2ª:
-3y+3z=4.
Multiplicamos a 1ª por 4 e somamos à 3ª:
3z=5.
Logo \displaystyle z=\frac{5}{3}. Substituindo em -3y+3z=4:
-3y+5=4\implies y=\frac{1}{3}.
Finalmente, na 1ª equação,
-x-2\!\bigl(\tfrac13\bigr)+2\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)=2 \implies -x+\tfrac{8}{3}=2\implies x=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

No sistema (b)
\begin{cases} -x-2y+2z=5,\\\\ 2x+y-z=-1,\\\\ 4x+8y-5z=-5, \end{cases}
os mesmos passos dão
-3y+3z=2\cdot5+(-1)=9,\quad 3z=4\cdot5+(-5)=15.
Assim z=5 e de -3y+3\cdot5=9 vem y=2. Substituindo na 1ª,
-x-2\cdot2+2\cdot5=5\implies -x+6=5\implies x=1.

Passo 4

No sistema (c)
\begin{cases} -x-2y+2z=0,\\\\ 2x+y-z=-10,\\\\ 4x+8y-5z=4, \end{cases}
obtém-se
-3y+3z=2\cdot0+(-10)=-10,\quad 3z=4\cdot0+4=4.
Logo z=\tfrac{4}{3} e de -3y+3\cdot\tfrac{4}{3}=-10 segue y=\tfrac{14}{3}. Na 1ª equação,
-x-2\!\bigl(\tfrac{14}{3}\bigr)+2\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=0 \implies -x-\tfrac{28}{3}+\tfrac{8}{3}=0\implies x=-\tfrac{20}{3}.

Passo 5

Para o sistema (d)
\begin{cases} -3x - y +5z =1,\\\\ -2x -7y - z =2,\\\\ 2x - y - z =3, \end{cases}
fazemos 2\cdot(\text{1ª}) -3\cdot(\text{2ª})ªª para eliminar x:
19y+13z=-4,
e 2\cdot(\text{1ª})+3\cdot(\text{3ª})ªª:
-5y+7z=11.
Resolvendo este 2\times 2, obtemos
y=-\frac{19}{22},\quad z=\frac{21}{22}.
Por fim, na 1ª equação,
-3x -\bigl(-\tfrac{19}{22}\bigr)+5\!\bigl(\tfrac{21}{22}\bigr)=1 \implies -3x+\tfrac{19}{22}+\tfrac{105}{22}=1 \implies x=\frac{17}{11}.

Resposta

(a) \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\bigr)
(b) \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(1,2,5\bigr)
(c) \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-\tfrac{20}{3},\tfrac{14}{3},\tfrac{4}{3}\bigr)
(d) \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{17}{11},-\tfrac{19}{22},\tfrac{21}{22}\bigr)

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