Determine se o ângulo entre os vetores u, v \in V é agudo, obtuso ou reto.
V=\mathbb{R}^{3}, espaço euclideano e u=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -2 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
u = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix},
e pede para determinar se o ângulo entre eles é agudo, reto ou obtuso. No espaço euclidiano, usamos o produto escalar para classificar o ângulo:
  • Se u\cdot v>0, o ângulo é agudo.
  • Se u\cdot v=0, o ângulo é reto.
  • Se u\cdot v<0, o ângulo é obtuso.

Passo 2

Calculamos o produto escalar:
u\cdot v = 2\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 1\cdot(-1) = 2 + 2 - 1 = 3.

Passo 3

Como u\cdot v = 3 > 0, concluímos que o ângulo entre u e v é agudo.

Resposta

O ângulo entre os vetores é agudo.

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