Determine u cdot v e o ângulo entre os vetores nos casos abaixo:
(e) v=3 i+2 j-k e u=4 i+5 k

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar ucdotv e o ângulo theta entre dois vetores em R^3. Vamos usar as fórmulas
ucdotv = uxvx + uyvy + uzvz,
costheta = ucdotv|u|;|v|,
com |w| = raizwx^2+wy^2+wz^2.

Passo 2

Escrevendo os vetores em componentes:
v = (3,,2,,-1), u = (4,,0,,5)

Passo 3

Aplicando a definição do produto escalar:
ucdotv = 4cdot3 + 0cdot2 + 5cdot(-1) = 12 - 5 = 7

Passo 4

Calculamos os módulos:
|u| = raiz4^2 + 0^2 + 5^2 = raiz16 + 25 = raiz41,
|v| = raiz3^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14

Passo 5

Usando a fórmula do cosseno:
costheta = 7raiz41,raiz14 = 7raiz574
Logo,
theta = arccos!l(tfrac7raiz574r)approx 73,0^circ

Resposta

Produto escalar: 7
Ângulo entre os vetores: theta = arccos!l(tfrac7raiz574r)approx 73,0^circ.

Exercícios relacionados