Determine u cdot v e o ângulo entre os vetores nos casos abaixo: v=2 i+j e u=i-j+k

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=1,i-1,j+1,k e v=2,i+1,j+0,k
e pede (a) o produto escalar ucdotv e (b) o ângulo theta entre eles.
Conteúdo usado: definição de produto escalar em coordenadas e relação
costheta=ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Escrevendo componentes:
u=(1,,-1,,1), v=(2,,1,,0).
Pelo produto escalar em coordenadas,
ucdotv =1cdot2 +(-1)cdot1 +1cdot0 =2-1+0 =1

Passo 3

Calculamos as normas:
|u|=raiz1^2+(-1)^2+1^2 =raiz3, |v|=raiz2^2+1^2+0^2 =raiz5

Passo 4

O cosseno do ângulo theta vale
costheta =ucdotv|u|;|v| =1raiz3,raiz5 =1raiz15

Passo 5

Logo o ângulo é
theta =arccos!l(tfrac1raiz15r),
que em graus dá aproximadamente thetaapprox75^circ.

Resposta

Produto escalar: ucdotv=1.
Ângulo entre eles: theta=arccos!l(1/raiz15r)approx75^circ.

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