Determine o ângulo entre os vetores u=(1,0,-1) e v=(2,1,1) no espaço vetorial R^3 com o produto interno padrão.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo theta entre os vetores u=(1,0,-1) e v=(2,1,1) em R^3 com produto interno padrão. Para isso vamos usar a fórmula que relaciona produto interno e módulo de vetores:
costheta = ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Calculamos o produto interno
ucdotv = 1cdot 2 + 0cdot 1 + (-1)cdot 1 = 2 + 0 - 1 = 1

Passo 3

Agora os módulos dos vetores
|u| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2,
|v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno
costheta = 1raiz2,raiz6 = 1raiz12 = raiz36
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theta = arccos!l(raiz36r)

Resposta

theta = arccos!l(tfracraiz36r), que em graus vale aproximadamente 73,2^circ.

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