Determine o menor autovalor da matriz simétrica
A=(lll 4 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 )
e prove que o vetor associado a este autovalor é ortogonal aos vetores associados aos outros autovalores.

Passo 1

O enunciado pede o menor autovalor de uma matriz real simétrica
A = 4 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2
e que se prove que o autovetor associado a esse autovalor é ortogonal aos autovetores correspondentes aos demais autovalores.
Conteúdo: polinômio característico, cálculo de raízes e propriedade de ortogonalidade de autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I).
p(lambda) =det 4-lambda & 1 & 0 1 & 3-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda =(4-lambda)det3-lambda&11&2-lambda -1det1&10&2-lambda
Calculando os menores,
det3-lambda&11&2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-1 =lambda^2-5lambda+5, det1&10&2-lambda=2-lambda
Logo,
p(lambda) =(4-lambda)(lambda^2-5lambda+5)-(2-lambda) =-lambda^3+9lambda^2-24lambda+18
Multiplicando por -1, obtemos a forma usual
lambda^3-9lambda^2+24lambda-18=0

Passo 3

Fatoramos o polinômio lambda^3-9lambda^2+24lambda-18. Testando lambda=3 vemos que é raiz, e fazermos a divisão para obter
(lambda-3)(lambda^2-6lambda+6)=0
As raízes são
lambda1=3, lambda2,3=6pmraiz36-242=3pmraiz3
Portanto o menor autovalor é
lambdamin=3-raiz3

Passo 4

Para matrizes reais simétricas vale o seguinte resultado: se x e y são autovetores de A com autovalores distintos lambdaneqmu, então
Ax=lambda x, Ay=mu y
implica
lambda,x^T y = x^T(Ay) = (A x)^T y = lambda,x^T y,
e também
x^T(Ay)=mu,x^T y
Igualando as duas formas de x^T(Ay) vem
lambda,x^T y = mu,x^T y Longrightarrow (lambda-mu),x^T y = 0
Como lambdaneqmu, temos x^T y=0. Ou seja, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.

Resposta

O menor autovalor de A é
boxed,3-raiz3,
e o autovetor correspondente a esse valor é ortogonal aos autovetores associados aos demais autovalores por se tratar de matriz simétrica.

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