Sejam
, v e
vetores dois a dois ortogonais. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são vetores dois a dois ortogonais, isto é,
O que se pede é mostrar que a norma ao quadrado da soma desses vetores se decompõe na soma dos quadrados das normas, ou seja,
Para isso vamos usar a definição de norma em termos do produto escalar e a bilinearidade do produto escalar.
Passo 2
Recordando que, para qualquer vetor
, temos
Logo,
Passo 3
Agora expandimos o produto escalar usando a propriedade distributiva:
Passo 4
Como o produto escalar é simétrico (
, etc.) e todos os pares distintos são ortogonais, todos os termos mistos se anulam:
Portanto só sobram os termos