Sejam u, v e w vetores dois a dois ortogonais. Mostre que
|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2

Passo 1

O enunciado diz que u, v e w são vetores dois a dois ortogonais, isto é,
ucdot v = 0, ucdot w = 0, vcdot w = 0
O que se pede é mostrar que a norma ao quadrado da soma desses vetores se decompõe na soma dos quadrados das normas, ou seja,
|u+v+w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2
Para isso vamos usar a definição de norma em termos do produto escalar e a bilinearidade do produto escalar.

Passo 2

Recordando que, para qualquer vetor x, temos
|x|^2 = x cdot x
Logo,
|u+v+w|^2 = (u+v+w)cdot(u+v+w)

Passo 3

Agora expandimos o produto escalar usando a propriedade distributiva:
(u+v+w)cdot(u+v+w) = ucdot u + ucdot v + ucdot w + vcdot u + vcdot v + vcdot w + wcdot u + wcdot v + wcdot w

Passo 4

Como o produto escalar é simétrico ( ucdot v = vcdot u, etc.) e todos os pares distintos são ortogonais, todos os termos mistos se anulam:
ucdot v = ucdot w = vcdot w = 0
Portanto só sobram os termos
ucdot u + vcdot v + wcdot w = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Resposta

|u+v+w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

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