Determine o ângulo entre os vetores a=i+2 j+2 k, b=2 i+2 k

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • Vetor a = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}.
  • Vetor b = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{k}.
O que é pedido:
  • Determinar o ângulo \theta entre a e b.

Passo 2

Relembrando a fórmula fundamental para o ângulo entre vetores: a relação entre produto escalar e ângulo é
a\cdot b = \lVert a\rVert\,\lVert b\rVert\cos\theta.
Aqui:
  • a\cdot b é o produto escalar entre a e b.
  • \lVert a\rVert e \lVert b\rVert são as normas (módulos) dos vetores.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, com 0\le\theta\le\pi.
Para vetores em componentes a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) usa-se:
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3, \qquad \lVert a\rVert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}, \qquad \lVert b\rVert = \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Escrever os vetores em componentes (pegando os coeficientes da expressão original):
a=(1,2,2),\qquad b=(2,0,2).
Calcular o produto escalar por componentes:
a\cdot b = 1\cdot 2 + 2\cdot 0 + 2\cdot 2 = 2 + 0 + 4 = 6.

Passo 4

Calcular as normas (módulos) dos vetores:
\lVert a\rVert = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3.
\lVert b\rVert = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula a\cdot b = \lVert a\rVert\,\lVert b\rVert\cos\theta e resolver para \cos\theta:
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\,\lVert b\rVert} = \frac{6}{3\cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Reconhecendo a forma conhecida:
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Determinar \theta a partir de \cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. O valor de \theta no intervalo [0,\pi] que satisfaz isso é
\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}.
(Explicação curta: \cos 45^\circ = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.)

Resposta

\theta = 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}

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