Se u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
u \times w

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(3,-1,-2),\qquad v=(2,4,-1),\qquad w=(-1,0,1)
e pede para determinar o produto vetorial u\times w.
Informações relevantes: os componentes de u e de w são necessárias para calcular u\times w. Não é preciso usar v para este cálculo.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como vamos calcular (aula rápida)?
O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3, digamos u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3), é um vetor perpendicular a ambos. Uma fórmula direta para seus componentes é:
u\times w = \bigl(u_2 w_3 - u_3 w_2,\; u_3 w_1 - u_1 w_3,\; u_1 w_2 - u_2 w_1\bigr).
Aqui cada u_i e w_i é a i-ésima componente de u e w respectivamente. Vou aplicar essa fórmula passo a passo aos números dados.

Passo 3

Identificar componentes de u e w:
u_1=3,\quad u_2=-1,\quad u_3=-2; \qquad w_1=-1,\quad w_2=0,\quad w_3=1.

Passo 4

Calcular a primeira componente (componente x):
(u\times w)_1 = u_2 w_3 - u_3 w_2.
Substituindo os valores:
(u\times w)_1 = (-1)\cdot 1 - (-2)\cdot 0 = -1 - 0 = -1.

Passo 5

Calcular a segunda componente (componente y):
(u\times w)_2 = u_3 w_1 - u_1 w_3.
Substituindo:
(u\times w)_2 = (-2)\cdot(-1) - 3\cdot 1 = 2 - 3 = -1.

Passo 6

Calcular a terceira componente (componente z):
(u\times w)_3 = u_1 w_2 - u_2 w_1.
Substituindo:
(u\times w)_3 = 3\cdot 0 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1.

Passo 7

Montar o vetor resultado com as três componentes calculadas:
u\times w = (-1,-1,-1).
Verificação rápida (obrigatória em prova quando possível): checar que u\times w é perpendicular a u e a w calculando produtos escalares:
u\cdot (u\times w)=3(-1)+(-1)(-1)+(-2)(-1)=-3+1+2=0,
w\cdot (u\times w)=(-1)(-1)+0(-1)+1(-1)=1+0-1=0.
Ambos zero, então está consistente: u\times w é ortogonal a u e a w.

Resposta

(-1,-1,-1)

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