Indique quais vetores são unitários: \vec{u}=(1,1,1); \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \vec{w}=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para indicar quais são vetores unitários. Os dados são:
\vec{u}=(1,1,1);
\vec{v}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right);
\vec{w}=(0,0,1).
A pergunta é: quais desses vetores têm comprimento (norma) igual a 1?

Passo 2

Definição e fórmula útil (aula rápida): um vetor é unitário se sua norma (comprimento) for 1. Para um vetor em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(x,y,z), a norma é dada por
\|\vec{a}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui x,y,z são as componentes do vetor ao longo dos eixos x,y,z. Então, para cada vetor do enunciado vamos calcular \|\cdot\| usando essa fórmula e verificar se o resultado é 1.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{u}=(1,1,1). Aplicando a fórmula:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Interpretação: \sqrt{3} é aproximadamente 1,732, portanto \|\vec{u}\|\neq1. Conclusão parcial: \vec{u} não é unitário. (Dica prática: se precisar transformar \vec{u} num unitário na prova, divida por sua norma; o vetor unitário na direção de \vec{u} é \displaystyle\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).)

Passo 4

Calcular a norma de \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right). Primeiro calcule o quadrado de cada componente:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad 0^{2}=0, \qquad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Somando e tirando raiz:
\|\vec{v}\|=\sqrt{\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Conclusão parcial: \|\vec{v}\|=1, logo \vec{v} é um vetor unitário.

Passo 5

Calcular a norma de \vec{w}=(0,0,1). Aplicando a fórmula:
\|\vec{w}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1.
Conclusão parcial: \|\vec{w}\|=1, logo \vec{w} é um vetor unitário.

Passo 6

Resumo do que encontramos em cada passo: \|\vec{u}\|=\sqrt{3}\neq1, \|\vec{v}\|=1 e \|\vec{w}\|=1. Então, os vetores com norma igual a 1 são identificados.

Resposta

\vec{v} e \vec{w}

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