Determine o ângulo entre os vetores:
\vec{u}=(1,1) e \vec{v}=(-1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os vetores \vec{u}=(1,1) e \vec{v}=(-1,-1). O conteúdo principal aqui é produto escalar e norma de vetores: para encontrar o ângulo \theta basta usar a relação que conecta produto escalar com o cosseno do ângulo.

Passo 2

Lembrando que, para dois vetores \vec{u} e \vec{v}, vale
\cos(\theta) \;=\;\frac{\vec{u}\!\cdot\!\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.
Aqui \vec{u}\!\cdot\!\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{u}\| denota a norma de \vec{u}.

Passo 3

Calculemos cada parte:
\vec{u}\!\cdot\!\vec{v} = 1\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = -2,
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
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\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = \frac{-2}{2} = -1
e, portanto,
\theta = \operatorname{arccos}(-1) = \pi\\ \text{rad}.

Resposta

O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \pi radianos ( 180\circ).

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