Determine o ângulo entre os vetores:
\vec{u}=(2,1) e \vec{v}=(1,3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os vetores \vec{u}=(2,1) e \vec{v}=(1,3). Vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores para achar \cos(\theta) e depois aplicar a função arco cosseno.

Passo 2

Calculamos o produto escalar de \vec{u} e \vec{v} pela definição
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = 2\cdot1 + 1\cdot3 = 2 + 3 = 5.

Passo 3

Agora, determinamos as normas de cada vetor usando \|\vec{w}\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}, \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores:
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|} = \frac{5}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = 45^\circ.

Resposta

O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 45^\circ.

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