Determine as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^{x} (dica: escreva x^{x}=e^{\ln \left(x^{x}\right)} e use a Regra da Cadeia)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{x}
Este é um caso clássico de diferenciação de função na base e no expoente. Para resolver, vamos usar log-diferenciação, ou seja, reescrever x^{x} como exponencial e aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
x^{x} = e^{\ln\bigl(x^{x}\bigr)}
e, usando a propriedade dos logaritmos,
\ln\bigl(x^{x}\bigr) = x\,\ln(x).
Assim definimos
g(x) = x\,\ln(x)
e então
f(x) = e^{g(x)}.

Passo 3

Aplicamos a Regra da Cadeia para f(x)=e^{g(x)}:
\;f'(x) = e^{g(x)}\cdot g'(x).
Como e^{g(x)}=x^{x}, resta calcular
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[x\,\ln(x)\bigr].
Aqui usamos a Regra do Produto:
\frac{d}{dx}[x\,\ln(x)] = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=x^{x}\,g'(x), obtemos
\;f'(x) = x^{x}\,\bigl(\ln(x) + 1\bigr).

Resposta

\boxed{f'(x)=x^{x}\,(\ln(x)+1)}

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