QUESTÃO 6: (a) Determine o vetor \vec{u}, de módulo \sqrt{10}, que faz um ângulo de 45^{\circ}, com o vetor \vec{v}=(2,1).
(b) Escrever o vetor \vec{w}=(7,-1) como uma combinação linear de dois vetores \vec{u} e \vec{v}, onde \vec{u} é ortogonal ao vetor (1,-1) e \vec{v} é paralelo ao vetor (1,-1)

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
Na parte (a) queremos um vetor \vec u=(x,y) tal que \|\vec u\|=\sqrt{10} e o ângulo entre \vec u e \vec v=(2,1) seja 45^\circ. Vamos usar produto escalar.
Na parte (b) queremos decompor \vec w=(7,-1) em componentes paralela e ortogonal ao vetor \mathbf d=(1,-1). Essa é a projeção ortogonal.

Passo 2

Para (a), lembre que
\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\;\|\vec v\|\cos45^\circ.
Aqui \|\vec u\|=\sqrt{10}, \|\vec v\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} e \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}. Logo
\vec u\cdot\vec v =\sqrt{10}\,\sqrt{5}\,\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt{50}\,\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt{100}}{2} =\frac{10}{2} =5.
Em coordenadas, \vec u\cdot\vec v=2x+y, então
2x+y=5.
Além disso \|\vec u\|^2=x^2+y^2=10.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2x+y=5,\\\ x^2+y^2=10, \end{cases}
substituímos y=5-2x na segunda equação:
x^2+(5-2x)^2=10 \;\Longrightarrow\; 5x^2-20x+15=0 \;\Longrightarrow\; x^2-4x+3=0 \;\Longrightarrow\; x=1\text{ ou }x=3.
Para x=1 vem y=5-2\cdot1=3.
Para x=3 vem y=5-2\cdot3=-1.
Logo as duas soluções são
\vec u_1=(1,3),\quad \vec u_2=(3,-1),
ambas de módulo \sqrt{10} e fazendo 45^\circ com \vec v.

Passo 4

Para (b), queremos escrever \vec w=(7,-1) como \vec w=\vec u+\vec v,
onde \vec v é paralelo a \mathbf d=(1,-1) e \vec u é ortogonal a \mathbf d.
A projeção de \vec w sobre \mathbf d é
\vec v =\mathrm{proj}_{\mathbf d}(\vec w) =\frac{\vec w\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d =\frac{(7,-1)\cdot(1,-1)}{1^2+(-1)^2}\,(1,-1) =\frac{7+1}{2}\,(1,-1) =4\,(1,-1) =(4,-4).
Então a parte ortogonal é
\vec u =\vec w-\vec v =(7,-1)-(4,-4) =(3,3),
que satisfaz (3,3)\cdot(1,-1)=3-3=0.

Resposta

(a) \vec u=(1,3) ou \vec u=(3,-1).
(b) \displaystyle \vec w=(3,3)+(4,-4), ou seja, \vec u=(3,3) e \vec v=(4,-4).

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