QUESTÃO 6: (a) Determine o vetor
, de módulo
, que faz um ângulo de
, com o vetor
.
(b) Escrever o vetor
como uma combinação linear de dois vetores
e
, onde
é ortogonal ao vetor
e
é paralelo ao vetor
(b) Escrever o vetor
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
Na parte (a) queremos um vetor tal que
e o ângulo entre
e
seja
. Vamos usar produto escalar.
Na parte (b) queremos decompor em componentes paralela e ortogonal ao vetor
. Essa é a projeção ortogonal.
Na parte (a) queremos um vetor
Na parte (b) queremos decompor
Passo 2
Para (a), lembre que
Aqui
,
e
. Logo
Em coordenadas,
, então
Além disso
.
Passo 3
Resolvendo o sistema
substituímos
na segunda equação:
Para
vem
.
Para vem
.
Logo as duas soluções são
Para
Logo as duas soluções são
ambas de módulo
e fazendo
com
.
Passo 4
Para (b), queremos escrever
como
,
onde é paralelo a
e
é ortogonal a
.
A projeção de sobre
é
onde
A projeção de
Então a parte ortogonal é
que satisfaz
.
Resposta
(a)
ou
.
(b) , ou seja,
e
.
(b)