QUESTÃO 4:
Sejam \vec{u}=(x,-5) e \vec{v}=(x+2, x). Determine os valores de x para os quais \vec{u} \cdot \vec{v}=-2.

Passo 1

O enunciado apresenta os vetores \vec{u}=(x,-5) e \vec{v}=(x+2,x) e pede os valores de x tais que \vec{u}\cdot\vec{v}=-2. Vamos usar a definição de produto escalar no plano e resolver a equação resultante.

Passo 2

Pela definição, se \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Aqui u_1=x, u_2=-5, v_1=x+2 e v_2=x. Substituindo,
\vec{u}\cdot\vec{v}=x(x+2)+(-5)\,x = x^2+2x-5x = x^2-3x.

Passo 3

O problema exige \vec{u}\cdot\vec{v}=-2, logo
x^2-3x = -2.
Transferindo o -2 para o lado esquerdo, obtemos a equação quadrática
x^2-3x+2=0.

Passo 4

Para resolver x^2-3x+2=0, fatoramos:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)=0.
Assim as raízes são x=1 e x=2.

Resposta

x=1 ou x=2.

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