Determine a anti-transformada de Laplace da função a seguir.
H(s)=2 e^-s+1s^2-7 s+12

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace da função
H(s)=2e^-s+1s^2-7s+12
O conteúdo necessário envolve decomposição em frações parciais para
1s^2-7s+12 e uso do teorema do deslocamento no tempo (time-shift) para o fator e^-s.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^2-7s+12 = (s-3)(s-4)
Logo podemos escrever
H(s) = 1(s-3)(s-4) ;+; 2,e^-s(s-3)(s-4)

Passo 3

Primeiro encontramos a fração parcial de
F(s)=1(s-3)(s-4).
Suponha
1(s-3)(s-4) = As-3 + Bs-4
Isto implica
1 = A(s-4)+B(s-3),
daí A+B=0 e -4A-3B=1. Resolve-se e obtém-se A=-1, B=1. Portanto
F(s)= -1s-3 + 1s-4
A anti-transformada de Laplace dá
f(t) = -e^3t + e^4t, t>=0

Passo 4

Pelo teorema do deslocamento no tempo,
L^-1e^-sF(s) = f(t-1),u(t-1).
Assim a primeira parcela de H(s) gera f(t) e a segunda gera
2,f(t-1),u(t-1). Somando,
h(t) = f(t) + 2,f(t-1),u(t-1)

Resposta

h(t) = l(e^4t-e^3tr) ;+; 2l(e^4(t-1)-e^3(t-1)r),u(t-1)

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