Determine a transformada de Laplace da função a seguir.
i(t)=e^-2 t H(t-6)

Passo 1

O enunciado dá a função ,i(t)=e^-2tH(t-6). O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de deslocamento no tempo (heurística de Heaviside).

Passo 2

Para usar a propriedade de deslocamento escrevemos i(t) na forma f(t-6)H(t-6). Definindo tau=t-6, temos
e^-2t=e^-2(tau+6)=e^-12,e^-2tau,
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i(t)=e^-12,e^-2(t-6),H(t-6)

Passo 3

Sabemos que
Le^-2t=1s+2
e que, para qualquer f,
Lf(t-a),H(t-a)=e^-a s,F(s),
onde F(s)=Lf(t). Aqui a=6 e há um fator constante e^-12, então
Li(t) =e^-12,e^-6s,1s+2 =e^-6s-12s+2

Passo 4

Podemos agrupar o expoente:
e^-6s-12=e^-6(s+2),
chegando à forma mais compacta.

Resposta

I(s)=e^-6(s+2)s+2

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