Determine a anti-transformada de Laplace da função a seguir.
G(s)=e^-2 ss^2+s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s) = e^-2ss^2 + s
O conteúdo principal aqui é aplicar o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de translação) e, antes disso, usar frações parciais para inverter uma parte sem o fator de atraso.

Passo 2

Observamos que há um fator e^-2s. Pelo teorema do deslocamento no tempo, se
G(s) = e^-2sF(s),
então
g(t) = L^-1G(s) = u(t-2),f(t-2),
onde f(t)=L^-1F(s) e u(t) é a função de Heaviside.

Passo 3

Extraímos
F(s) = 1s(s+1)
Fazendo frações parciais:
1s(s+1) = As + Bs+1 Longrightarrow 1 = A(s+1) + Bs
Comparando coeficientes, obtemos A=1 e B=-1. Logo,
F(s) = 1s - 1s+1 Longrightarrow f(t) = L^-1F(s) = 1 - e^-t

Passo 4

Aplicando o deslocamento no tempo com a=2:
g(t) = u(t-2),f(t-2) = u(t-2)l[,1 - e^-(t-2)r]

Resposta

g(t) = u(t-2)l[1 - e^-(t-2)r]

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