Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
(a) y^prime=2-y,
(b) y^prime=y-y^2,
(c) y^prime=1-y^2.
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
[Resp: (a) solução de equilibrio y(x)=2, o equilibrio é assintóticamente estável. (b) soluções de equilibrio y0(x)=0 ; y1(x)=1, o y0 é instável (repulsor) e y1 é assintóticamente estável
(atrator). (c) soluções de equilibrio y0(x)=-1 ; y1(x)=1, o y0 é instável (repulsor) e y1 é assintoticamente estável (atrator)]

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções para três equações autônomas de primeira ordem, além de achar seus pontos de equilíbrio e dizer se cada um é assintoticamente estável, instável ou semiestável. O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas: identificamos pontos em que y'=f(y)=0, examinamos o sinal de f(y) para ver se as soluções sobem ou descem, e classificamos a estabilidade pelo comportamento das setas no diagrama de fase vertical.

Passo 2

Para y'=2-y definimos f(y)=2-y. O equilíbrio vem de
2 - y = 0 Longrightarrow y^* = 2
Se y<2 então f(y)>0 e as setas apontam para cima; se y>2 então f(y)<0 e as setas apontam para baixo. No campo de direções teremos linhas inclinadas positivamente abaixo de y=2 e negativamente acima. As soluções monotonicamente convergem para y=2 quando xto+infty. A resolução exata por separação de variáveis dá
dydx=2-y Longrightarrow y(x)=2+Ce^-x,
que de fato tende a 2. Logo, y=2 é ponto de equilíbrio assintoticamente estável (atrator).

Passo 3

Para y' = y - y^2 definimos f(y) = y(1 - y). Os equilíbrios são
y(1 - y) = 0 Longrightarrow y^* = 0,;1
Analisando o sinal de f(y):
- Se y < 0, então y < 0 e 1 - y > 0; Rightarrow f(y) < 0 (setas para baixo).
- Se 0 < y < 1, então f(y) > 0 (setas para cima).
- Se y > 1, então 1 - y < 0 e y > 0; Rightarrow f(y) < 0 (setas para baixo).
No diagrama de fase, em y = 0 as setas saem para baixo e para cima (repulsor), em y = 1 as setas chegam (atrator). A solução exata é
y(x) = 11 + Ce^-x,
uma curva logística que corre de 0 para 1. Assim, y = 0 é instável e y = 1 é assintoticamente estável.

Passo 4

Para y' = 1 - y^2 definimos f(y) = (1 - y)(1 + y). Os equilíbrios são
1 - y^2 = 0 Longrightarrow y^* = -1,;1
Vemos o sinal de f(y):
- Se y < -1, então 1 - y^2 < 0 (setas para baixo).
- Se -1 < y < 1, então 1 - y^2 > 0 (setas para cima).
- Se y > 1, então 1 - y^2 < 0 (setas para baixo).
No diagrama de fase as setas saem de y = -1 (repulsor) e chegam em y = 1 (atrator). A forma geral da solução é
y(x) = tanh(x + C),
que varia de -1 para +1. Logo, y = -1 é instável e y = 1 é assintoticamente estável.

Resposta

(a) equilíbrio y=2, assintoticamente estável.
(b) equilíbrios y=0 (instável) e y=1 (assintoticamente estável).
(c) equilíbrios y=-1 (instável) e y=1 (assintoticamente estável).

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