Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
(a)
,
(b)
,
(c)
.
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
[Resp: (a) solução de equilibrio
, o equilibrio é assintóticamente estável. (b) soluções de equilibrio
, o
é instável (repulsor) e
é assintóticamente estável
(atrator). (c) soluções de equilibrio
, o
é instável (repulsor) e
é assintoticamente estável (atrator)]
(a)
(b)
(c)
[Resp: (a) solução de equilibrio
(atrator). (c) soluções de equilibrio
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções para três equações autônomas de primeira ordem, além de achar seus pontos de equilíbrio e dizer se cada um é assintoticamente estável, instável ou semiestável. O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações diferenciais autônomas: identificamos pontos em que
, examinamos o sinal de
para ver se as soluções sobem ou descem, e classificamos a estabilidade pelo comportamento das setas no diagrama de fase vertical.
Passo 2
Para
definimos
. O equilíbrio vem de
Se
então
e as setas apontam para cima; se
então
e as setas apontam para baixo. No campo de direções teremos linhas inclinadas positivamente abaixo de
e negativamente acima. As soluções monotonicamente convergem para
quando
. A resolução exata por separação de variáveis dá
que de fato tende a
. Logo,
é ponto de equilíbrio assintoticamente estável (atrator).
Passo 3
Para
definimos
. Os equilíbrios são
Analisando o sinal de
:
- Se , então
e
;
(setas para baixo).
- Se , então
(setas para cima).
- Se , então
e
;
(setas para baixo).
No diagrama de fase, em as setas saem para baixo e para cima (repulsor), em
as setas chegam (atrator). A solução exata é
- Se
- Se
- Se
No diagrama de fase, em
uma curva logística que corre de
para
. Assim,
é instável e
é assintoticamente estável.
Passo 4
Para
definimos
. Os equilíbrios são
Vemos o sinal de
:
- Se , então
(setas para baixo).
- Se , então
(setas para cima).
- Se , então
(setas para baixo).
No diagrama de fase as setas saem de (repulsor) e chegam em
(atrator). A forma geral da solução é
- Se
- Se
- Se
No diagrama de fase as setas saem de
que varia de
para
. Logo,
é instável e
é assintoticamente estável.
Resposta
(a) equilíbrio
, assintoticamente estável.
(b) equilíbrios (instável) e
(assintoticamente estável).
(c) equilíbrios (instável) e
(assintoticamente estável).
(b) equilíbrios
(c) equilíbrios