Determine a transformada de Laplace da função a seguir.
h(t)=(t^2+2 t) H(t-5)+3 de<a(t-4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
h(t)=l(t^2+2tr),H(t-5)+3,de<a(t-4)
O conteúdo envolvido é transformada de Laplace, usando linearidade, o teorema do deslocamento no tempo (segunda forma) e a propriedade da função delta de Dirac.

Passo 2

Separamos
h(t)=h1(t)+h2(t),
onde
h1(t)=l(t^2+2tr),H(t-5), h2(t)=3,de<a(t-4)
Pela linearidade,
Lh(s)=Lh1(s)+Lh2(s)

Passo 3

Para a parte impulsiva usamos
Lde<a(t-a)(s)=e^-a s,
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Lh2(s) =3,Lde<a(t-4)(s) =3,e^-4s

Passo 4

Para h1(t) aplicamos a mudança de variável tau = t-5 válida quando t>=5. Então
t^2+2t =(tau+5)^2+2(tau+5)
Assim
h1(t) =H(t-5),j(t-5) com j(tau)=(tau+5)^2+2(tau+5)

Passo 5

Expandindo j(tau):
j(tau) =tau^2+10tau+25+2tau+10 =tau^2+12tau+35

Passo 6

Calculamos a transformada de j(tau) (para tau>=0):
J(s) =Lj(tau)(s) =Ltau^2(s) +12,Ltau(s) +35,L1(s)
Usando Ltau^2=2/s^3, Ltau=1/s^2 e L1=1/s, obtemos
J(s) =2s^3+12s^2+35s

Passo 7

Pelo teorema do deslocamento no tempo,
Lj(t-5),H(t-5)(s) =e^-5s,J(s) =e^-5sl(2s^3+12s^2+35sr)
Portanto
Lh1(s) =e^-5sl(2s^3+12s^2+35sr)
Somando as duas partes:
Lh(s) =e^-5sl(2s^3+12s^2+35sr) +3,e^-4s

Resposta

boxedLh(s) =e^-5sl(2s^3+12s^2+35sr) +3,e^-4s

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