Determine quais das aplicações abaixo são transformações lineares. Justifique a sua resposta.
T1: R^2 R^2, T1(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T₁:ℝ²→ℝ², dada por
T₁(x,y)=(x+y,,x−y)
é uma transformação linear. O conteúdo é Transformações Lineares: vamos usar a definição que exige verificar aditividade (T(u+v)=T(u)+T(v)) e homogeneidade (T(cu)=cT(u)).

Passo 2

Verificar aditividade: sejam u=(x₁,y₁) e v=(x₂,y₂). Então
T₁(u+v)=T₁(x₁+x₂,,y₁+y₂)=( (x₁+x₂)+(y₁+y₂),,(x₁+x₂)−(y₁+y₂) )
Reescrevendo,
= ( (x₁+y₁)+(x₂+y₂),,(x₁−y₁)+(x₂−y₂) )=T₁(x₁,y₁)+T₁(x₂,y₂)=T₁(u)+T₁(v)

Passo 3

Verificar homogeneidade: seja c∈ℝ e u=(x,y). Então
T₁(cu)=T₁(cx,,cy)=(cx+cy,,cx−cy)=(c(x+y),,c(x−y))=c(x+y,,x−y)=cT₁(x,y)=cT₁(u)

Resposta

A aplicação T₁ satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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