Exercício 3 Considere R^3 com o produto interno canônico. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt à base alpha=(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1) para encontrar uma base ortogonal beta.

Passo 1

Estamos em R^3 com o produto interno canônico e temos a base alpha = v1 = (0,0,1), v2 = (0,1,1), v3 = (1,1,1). Vamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortogonal beta.

Passo 2

O método de Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u1,u2,u3 a partir de v1,v2,v3 usando as fórmulas abaixo.
u1 = v1, uk = vk - sumj=1^k-1 lang<= vk, ujrang<=lang<= uj, ujrang<=,uj

Passo 3

Aplicamos primeiro a definição em u1. Como v1 = (0,0,1), temos
u1 = v1 = (0,0,1)

Passo 4

Para u2, calculamos a projeção de v2 em u1. Como lang<= v2,u1rang<= = (0,1,1)cdot(0,0,1) = 1 e lang<= u1,u1rang<= = 1, a projeção é tfrac11u1 = (0,0,1). Então
u2 = v2 - (0,0,1) = (0,1,1) - (0,0,1) = (0,1,0)

Passo 5

Para u3, subtraímos as projeções de v3 em u1 e u2. Calculamos lang<= v3,u1rang<= = (1,1,1)cdot(0,0,1) = 1 e lang<= v3,u2rang<= = (1,1,1)cdot(0,1,0) = 1, com lang<= u1,u1rang<= = lang<= u2,u2rang<= = 1. Assim as projeções são u1 e u2. Logo
u3 = v3 - (0,0,1) - (0,1,0) = (1,1,1) - (0,0,1) - (0,1,0) = (1,0,0)

Passo 6

Os vetores u1=(0,0,1), u2=(0,1,0) e u3=(1,0,0) estão mutuamente ortogonais, pois cada par tem produto interno zero.

Resposta

Uma base ortogonal beta é {(0,0,1),,(0,1,0),,(1,0,0)}.

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