Exercício 3 Considere
com o produto interno canônico. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt à base
para encontrar uma base ortogonal
.
Passo 1
Estamos em
com o produto interno canônico e temos a base
. Vamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortogonal
.
Passo 2
O método de Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais
a partir de
usando as fórmulas abaixo.
Passo 3
Aplicamos primeiro a definição em
. Como
, temos
Passo 4
Para
, calculamos a projeção de
em
. Como
e
, a projeção é
. Então
Passo 5
Para
, subtraímos as projeções de
em
e
. Calculamos
e
, com
. Assim as projeções são
e
. Logo
Passo 6
Os vetores
,
e
estão mutuamente ortogonais, pois cada par tem produto interno zero.
Resposta
Uma base ortogonal
é {(0,0,1),,(0,1,0),,(1,0,0)}.