Exercício 4 Dizemos que uma matriz Qn times n é ortogonal se os vetores colunas de Q formam uma base ortonormal de R^n.
(a) Mostre que uma matriz Qn times n é ortogonal se, e somente, Q^T cdot Q=I.
(b) Mostre que uma matriz Qn times n é ortogonal se, e somente,
=, forall x, y in R^n

Passo 1

O enunciado define uma matriz ortogonal como aquela cujas colunas formam uma base ortonormal de ℝ^n e pede para mostrar duas equivalências: (a) isso é o mesmo que Q^TQ=I; (b) é o mesmo que lang<= Qx, Qyrang<==lang<= x,yrang<= para todo x,y. Vamos usar propriedades de produto interno e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos provar (a) “colunas de Q são ortonormais” ⇔ “ Q^TQ=I”. Suponha primeiro que as colunas q1,dots,qn de Q formam uma base ortonormal. Isso significa que lang<= qi,qjrang<==0 se ineq j e lang<= qi,qirang<==1. Mas a entrada (i,j) de Q^TQ é exatamente
(Q^TQ)ij = qi^T,qj = lang<= qi,qjrang<=,
logo (Q^TQ)ij = de. Isso mostra que Q^TQ=I.

Passo 3

Agora o recíproco: se Q^TQ=I, então (Q^TQ)ij=de. Mas (Q^TQ)ij=lang<= qi,qjrang<=, onde qi é a i-ésima coluna de Q. Logo temos lang<= qi,qjrang<==de, ou seja, as colunas são ortonormais. Isso encerra a prova de (a).

Passo 4

Para (b), usamos a propriedade do produto interno via matrizes. Se Q^TQ=I, então para quaisquer x,yinℝ^n
lang<= Qx, Qyrang<= = (Qx)^T(Qy) = x^T(Q^TQ)y = x^T y = lang<= x,yrang<=
Isso mostra que Q^TQ=I implica preservação do produto interno.

Passo 5

Para o recíproco, suponha que lang<= Qx,Qyrang<==lang<= x,yrang<= para todo x,y. Em particular, tomando x=ei e y=ej das bases canônicas, obtemos
lang<= qi,qjrang<= = lang<= Qei, Qejrang<= = lang<= ei,ejrang<= = de
Portanto as colunas são ortonormais e, pelo item (a), isso implica Q^TQ=I. Assim, a preservação do produto interno é equivalente a Q^TQ=I e ao caráter ortogonal de Q.

Resposta

Mostramos que uma matriz Q tem colunas ortonormais se, e somente se, Q^TQ=I, e que isso equivale também a lang<= Qx,Qyrang<==lang<= x,yrang<= para todos x,yinR^n.

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