Exercício 4 Dizemos que uma matriz
é ortogonal se os vetores colunas de
formam uma base ortonormal de
.
(a) Mostre que uma matriz
é ortogonal se, e somente,
.
(b) Mostre que uma matriz
é ortogonal se, e somente,
(a) Mostre que uma matriz
(b) Mostre que uma matriz
Passo 1
O enunciado define uma matriz ortogonal como aquela cujas colunas formam uma base ortonormal de
e pede para mostrar duas equivalências: (a) isso é o mesmo que
; (b) é o mesmo que
para todo
. Vamos usar propriedades de produto interno e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Vamos provar (a) “colunas de
são ortonormais” ⇔ “
”. Suponha primeiro que as colunas
de
formam uma base ortonormal. Isso significa que
se
e
. Mas a entrada
de
é exatamente
logo
. Isso mostra que
.
Passo 3
Agora o recíproco: se
, então
. Mas
, onde
é a
-ésima coluna de
. Logo temos
, ou seja, as colunas são ortonormais. Isso encerra a prova de (a).
Passo 4
Para (b), usamos a propriedade do produto interno via matrizes. Se
, então para quaisquer
Isso mostra que
implica preservação do produto interno.
Passo 5
Para o recíproco, suponha que
para todo
. Em particular, tomando
e
das bases canônicas, obtemos
Portanto as colunas são ortonormais e, pelo item (a), isso implica
. Assim, a preservação do produto interno é equivalente a
e ao caráter ortogonal de
.
Resposta
Mostramos que uma matriz
tem colunas ortonormais se, e somente se,
, e que isso equivale também a
para todos
.