Determine quais das aplicações abaixo são transformações lineares. Justifique a sua resposta.
.
Passo 1
Temos a aplicação
definida por
. O conteúdo aqui é transformações lineares, e vamos precisar usar a definição de linearidade: preservação da soma de vetores e da multiplicação por escalar.
Passo 2
Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem as propriedades
Passo 3
Vamos testar a propriedade da soma em
. Tome os vetores
e
. Temos
enquanto
Como
, a aditividade falha.
Passo 4
Pela falha na conservação da soma, concluímos que
não satisfaz os requerimentos de linearidade e, portanto, não é transformação linear.