Determine quais das aplicações abaixo são transformações lineares. Justifique a sua resposta.
T2: R^2 R, T2(x, y)=x y.

Passo 1

Temos a aplicação T2:R^2toR definida por T2(x,y)=x,y. O conteúdo aqui é transformações lineares, e vamos precisar usar a definição de linearidade: preservação da soma de vetores e da multiplicação por escalar.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar lambda, valem as propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 3

Vamos testar a propriedade da soma em T2. Tome os vetores (1,0) e (0,1). Temos
T2((1,0)+(0,1))=T2(1,1)=1cdot 1=1,
enquanto
T2(1,0)+T2(0,1)=1cdot 0 + 0cdot 1=0+0=0
Como 1neq 0, a aditividade falha.

Passo 4

Pela falha na conservação da soma, concluímos que T2 não satisfaz os requerimentos de linearidade e, portanto, não é transformação linear.

Resposta

T2 não é uma transformação linear.

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