Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(y, z, 0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T:R^3 to R^3, definida por T(x,y,z)=(y,z,0), é diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de transformações lineares: precisamos achar a matriz de T, seus autovalores e as respectivas multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Para começar, representamos T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,0)=e1,
T(e3)=T(0,0,1)=(0,1,0)=e2,
segue-se que a matriz de T é
A=0&1&00&0&10&0&0

Passo 3

Agora calculamos o polinômio característico de A. Como A é estritamente triangular, temos
chiA(lambda)=det(A-lambda I)=(-lambda)^3=-lambda^3
Logo o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Em seguida, achamos o espaço próprio associado a lambda=0, isto é o núcleo de A. Resolvendo A(x,y,z)=0 obtemos as equações:
y=0, z=0,
sem restrição sobre x. Portanto
ker(A)=(x,0,0):xinR
e tem dimensão 1. Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor 0.

Passo 5

Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser 3. Aqui só temos uma delas e vale 1, que é menor que 3. Portanto não há base de autovetores que diagonalize A.

Resposta

A transformação linear não é diagonalizável.

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