Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear , definida por , é diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de transformações lineares: precisamos achar a matriz de , seus autovalores e as respectivas multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Para começar, representamos na base canônica . Como
segue-se que a matriz de é
Passo 3
Agora calculamos o polinômio característico de A. Como A é estritamente triangular, temos
Logo o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Em seguida, achamos o espaço próprio associado a lambda=0, isto é o núcleo de A. Resolvendo A(x,y,z)=0 obtemos as equações:
y=0, z=0,
sem restrição sobre x. Portanto
ker(A)=(x,0,0):xinR
e tem dimensão 1. Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor 0.
Passo 5
Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser 3. Aqui só temos uma delas e vale 1, que é menor que 3. Portanto não há base de autovetores que diagonalize A.