Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
, dada por
, é diagonalizável. O conteúdo envolve diagonalização de matrizes reais: precisamos obter a matriz de
na base canônica, calcular seus autovalores e checar se há uma base de autovetores em
.
Passo 2
Para começar, vamos achar a matriz
de
na base canônica
. Aplicando em cada vetor da base:
-
é a primeira coluna de . -
é a segunda coluna de .
Logo, em bloco temos:
Passo 3
Agora calculamos o polinômio característico de
:
As raízes desse polinômio são
, que são números complexos não reais. Como não há autovalores reais, não podemos obter autovetores reais suficientes para formar uma base de
.
Resposta
A transformação
não é diagonalizável em
.