Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(-y, x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: R^2toR^2, dada por T(x,y)=(-y,x), é diagonalizável. O conteúdo envolve diagonalização de matrizes reais: precisamos obter a matriz de T na base canônica, calcular seus autovalores e checar se há uma base de autovetores em R^2.

Passo 2

Para começar, vamos achar a matriz A de T na base canônica (1,0),(0,1). Aplicando em cada vetor da base:
  • T(1,0)=(-0,1)=(0,1) é a primeira coluna de A.
  • T(0,1)=(-1,0) é a segunda coluna de A.
    Logo, em bloco temos:
A=0 & -11 & 0

Passo 3

Agora calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det-lambda & -11 & -lambda=(-lambda)^2-(-1)cdot1=lambda^2+1
As raízes desse polinômio são lambda=pm i, que são números complexos não reais. Como não há autovalores reais, não podemos obter autovetores reais suficientes para formar uma base de R^2.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável em R^2.

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