Determine se as aplicações seguintes são ou não lineares.
F: R^2 R
(x cdot y) mapsto x y

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Fcolon R^2 to R, F(x,y)=x,y
e pede para verificar se F é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear em espaços vetoriais sobre R.

Passo 2

Uma aplicação F é linear se, para todo u,vinR^2 e todo escalar alphainR, valem simultaneamente:
(i) F(u+v)=F(u)+F(v), (ii) F(alpha u)=alpha,F(u)

Passo 3

Testando a aditividade, seja
u=(x1,y1), v=(x2,y2)
Então
F(u+v)=Fl(x1+x2,;y1+y2r) =(x1+x2)(y1+y2) =x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2,
enquanto
F(u)+F(v)=x1y1 + x2y2
Como em geral
x1y2 + x2y1 neq 0,
segue que
F(u+v)neq F(u)+F(v),
logo F falha em ser aditiva.

Passo 4

Para confirmar, podemos também testar a homogeneidade:
Fl(alpha x,alpha yr) =(alpha x)(alpha y) =alpha^2,x,y neq alpha,(x,y) =alpha,F(x,y)
sempre que alphaneq0,1.

Resposta

A aplicação F(x,y)=x,y não é linear.

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