Determine se as aplicações seguintes são ou não lineares.
M: R^3-R^2
(x, y, z) longmapsto(x, y, z)[cc 1 & 2 0 & -1 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação M:R^3toR^2 definida por multiplicação de vetor linha pela matriz
A = 1 & 2 0 & -1 1 & 1 ,
isto é, para v=(x,y,z) temos
M(v) = v,A
Vamos verificar se M satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, que caracterizam transformações lineares.

Passo 2

Propriedade de aditividade: sejam u,vinR^3. Então
M(u+v) = (u+v),A = u,A + v,A = M(u) + M(v)

Passo 3

Propriedade de homogeneidade: seja alphainR e vinR^3. Então
M(alpha,v) = (alpha,v),A = alpha,(v,A) = alpha,M(v)

Passo 4

Como M satisfaz simultaneamente aditividade e homogeneidade, concluímos que M é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação M é linear.

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