Determine se as aplicações seguintes são ou não lineares.
D: Pn & Pn rho & mapsto d rhod x

Passo 1

O enunciado define a aplicação
D: Pnto Pn, rhomapsto drhodx,
onde Pn é o espaço dos polinômios de grau no máximo n. O objetivo é verificar se D satisfaz a definição de aplicação linear.

Passo 2

Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v e quaisquer escalares a,b, vale
T(a,u + b,v) ;=; a,T(u);+;b,T(v)

Passo 3

Seja rho1,rho2in Pn e a,binR. Então
Dl(a,rho1 + b,rho2r) =ddxl(a,rho1(x) + b,rho2(x)r) =a,drho1dx+b,drho2dx =a,D(rho1)+b,D(rho2)
Isso mostra que D preserva combinações lineares.

Resposta

A aplicação D é linear.

Exercícios relacionados