Seja T: V W linear. Mostrar que:
T(u-v)=T(u)-T(v)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda transformação linear T:Vto W e quaisquer vetores u,vin V, vale
T(u - v)=T(u)-T(v)
O conteúdo usado aqui é a definição de linearidade, que diz que para todo x,yin V e todo escalar alpha temos
T(x+y)=T(x)+T(y), T(alpha x)=alpha,T(x)

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial definimos subtração como soma do inverso aditivo. Ou seja,
u - v = u + (-1),v

Passo 3

Aplicamos T a essa igualdade:
T(u - v) = Tl(u + (-1),vr)
Pela propriedade aditiva de T, temos
Tl(u + (-1),vr) = T(u) + Tl((-1),vr)

Passo 4

Agora usamos a homogeneidade de T no segundo termo:
Tl((-1),vr) = (-1),T(v)
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T(u - v) = T(u) + (-1),T(v)

Passo 5

Reconhecendo que adicionar (-1),T(v) é subtrair T(v), concluímos
T(u - v)=T(u)-T(v),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

T(u - v)=T(u)-T(v)

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